آزمون t

در نمونه های مستقل ، آزمون t  از تقسیم تفاوت بین میانگین های نمونه بر برآوردی از انحراف معیار توزیع اختلافها ( که به عنوان خطای معیار اختلاف یاstandard error of difference  شناخته می شود)به دست می آید.اگر واریانسهای نمونه دارای مقادیر مشابهی باشد ، معمولاً با برآورد ترکیبی (pooled estimate) واریانس ثابت جامعه کار می شود. اما اگر واریانس ها برابر نباشند از برآورد ترکیبی استفاده نمی شود و یک آزمون با واریانس جداگانه (separate variance) انجام می شود . اگر مقدار t  در هر یک از دمهای توزیع نمونه گیری قرار بگیرد ، فرضیه صفر رد می شود.مقدار دقیق t که جهت معنی دار شدن لازم است به درجه آزادی(degrees of freedom) توزیع بستگی دارد که خود آن به حجم نمونه در مطالعه وابسته است. اما معمولاً اگر قدر مطلق tبرابر یا بزرگتر از 2 باشد، معنی دار است،مگر اینکه حجم نمونه خیلی کوچک باشد.در هر حال باید از نمونه های خیلی کوچک پرهیز نمود ، زیرا آزمون مورد نظر توان لازم جهت رد کردنH0  را نخواهد داشت.(توان یا power یک آزمون آماری احتمال رد کردن H0 است به شرطی که صحیح نباشد.)مدل آزمون t  این فرض را می کند که داده ها از توزیع های نرمال با واریانس برابر به دست آمده اند.شبیه سازی های رایانه ای نشان داده است که حتی اگر این فرضها تا حدودی مخدوش شده باشند کماکان می توان با اطمینان از آزمون t استفاده نمود،یه شرط آنکه حجم نمونه خیلی کم نباشد و دارای مقادیر پرت نبوده وحجم نمونه خیلی کم نباشدو دارای مقادیر پرت نبوده وحجم نمونه ها با هم برابر باشد(یاتقریباً برابر باشد) اگر بررسی اولیه داده ها بیانگر آن باشد که فرضهای مدل آزمون t به شدت مختل است .می توان از آزمونهای جایگزین استفاده نمود که از نوع آزمونهای ناپارامتری است و در منوی Nonparametric Tests  از Analyze وجود دارد.آزمونهای ناپارامتری در باره توزیعهای جامعه و واریانس آن فرض خاصی نمی کنند.رویکرد دیگر (که به همان میزان موجب افت توان نمی شود) خارج کردن مقادیر پرت و به کار بردن آزمون t با مجموعه داده های جدید است.

• ظهور احتمال
• گذر از احتمال کلاسیک
• چبیشف و تلاش های او در زمینه علم احتمال
• منابع
• مباحث مرتبط

ظهور احتمال

اما ظهور احتمال به صورت یک نظریه ریاضی نسبتاً جدید است.
مصریان قدیم در حدود ۳۵۰۰ سال قبل از میلاد برای بازی از چیزی که امروزه آن را "قاپ" می‌نامند و شیئی استخوانی شبیه تاس چهار وجهی است استفاده می‌کردندکه در استخوان زانوی پای بعضی از حیوانات وجود دارد.
تاس شش وجهی معمولی در حدود سالهای ۱۶۰۰ بعد از میلاد ساخته شد و از آن به بعد در تمام انواع بازیها ابزار اصلی بوده است.
بدیهی است که ضمن انجام بازیهای تصادفی ،بازیکنان این بازیهادرباره فراوانی وقوع پیشامدهای معین و درباره احتمال آنها ایده‌های شهودی به دست آوردند اما تعجب اینکه تا قرن پانزدهم هیچگونه بررسی علمی در مورد پیشامدهای تصادفی انجام نشد.

گذر از احتمال کلاسیک

اوایل تئوری احتمالات به یک تعداد متناهی از نتایج یک امتحان دو شقی محدود شده بود.قانون محاسبه احتمال،در اصل بسیار ساده بود:

یک پیشامد مرکب،تعدادی پیشامد اولیه را شامل میشود.احتمال آن پیشامد مرکب برابر است با حاصل جمع احتمالات آن پیشامدهای اولیه.برای تعیین احتمالهای پیشامدهای مرکب،پیشامدهای اولیه باید احتمالهایی داشته باشند.طرح های تخمینی بر اساس پیشامدهای اولیه متقارن بنیان نهاده شده بودند.در نتیجه اگر تعداد پیشامدهای اولیه m بود،تقارن نتایج یک بازی به معنی زیبا بودن آن بازی بود.
محاسبات کلاسیک احتمالات که بسیار محدود بودند،بر پایهء تفسیر کلاسیک احتمال انجام میشدند.

چبیشف و تلاش های او در زمینه علم احتمال

چبیشف در ۱۶ ماه مه ۱۸۲۱ در "اکتاوو"٬ روستایی کوچک در روسیه غربی٬ در غرب مسکو متولد شد.هنگام تولد او پدرش از ارتش بازنشسته شده بود٬ اما اخیرآ در زندگی نظامی اش بعنوان افسر مقابل نیروهای متجاوز ناپلئون جنگیده بود. چبیشف در خانواده ای کوچک که جزئی از خانواده ای بزرگ با تاریخچه ای جالب توجه به دنیا آمد.والدین اش ۹ فرزند داشتند که برخی از آنها شغل پدرشان را پیش گرفتند.
تحصیلات ابتدایی او در خانه شکل گرفت . وی در منزل توانایی های اولیه خواندن٬ زبان فرانسه و حساب را یاد گرفت.بعدها زبان فرانسه برای او بسیار سودمند بود چون توانست با تکیه بر آن فرانسه را از نزدیک ببیند و ریاضیات پیچیده را به فرانسوی در همانجا بخواند. همین طور زبان فرانسوی بین ریاضیدانان پیشرو اروپایی زبان ارتباطی مؤثری بود.
در سال ۱۸۳۲ وقتی یازده ساله بود٬ خانواده اش به مسکو رفتند.در آنجا او درس خواندن را در خانه ادامه داد ولی در آن زمان توسط پی.ان.پاگورلسکی- کسی که به بهترین مدارس ابتدایی آموزش ریاضیات در مسکو رسیدگی می کرد- در ریاضیات آموزش داده می شد. پاگورلسکی نویسنده بعضی از مشهورترین کتب درسی ریاضی مدارس ابتدایی در آن زمان و به طور قطع ریاضیات را به دانش آموزان القا می کرد و به آنها آموزش قوی ای از ریاضیات می داد.بنابراین٬ چبیشف خیلی خوب برای درس خواندن در علوم ریاضیات آماده شد وقتی که در سال ۱۸۳۷ به دانشگاه مسکو- این دانشگاه در سال ۱۷۵۵تأسیس شد- رفت.
در دانشگاه مسکو کسی که تأثیر زیادی بر چبیشف گذاشت "نیکولای مترویوچ برشمن"- پروفسور ریاضیات کاربردی در دانشگاه مسکو از سال ۱۸۳۴- بود. چبیشف همیشه به تأثیر بزرگ برشمن بر خود هنگام تحصیل در دانشگاه اعتراف می کرد و او را مهمترین عامل در رسیدن به نتایج تحقیقاتش عنوان می کرد.
دپارتمان فیزیک و ریاضی در دانشگاه او در سال تحصیلی ۴۱-۱۸۴۰ یک مسابقه برگزار کرد و چبیشف در مقاله ای (y=f(x را با استفاده از بسط سری ها برای توابع معکوس پذیر حل کرد ولی مقاله او در آن زمان تنها جایزه دوم را به خود اختصاص داد و در سال ۱۹۵۰ منتشر شد. چبیشف در سال ۱۸۴۱ فارغ التحصیل شد و تحصیلات خود را در فوق لیسانس تحت حمایت استاد محبوبش "برشمن" ادامه داد.
اولین مقاله او به زبان فرانسه٬در رابطه با انتگرالهای چندگانه ٬در سال۱۸۴۳ درمجله "liouvill" منتشر شد. دومین مقاله او نیز به زبان فرانسه بود و این بار در سال ۱۸۴۴ در مجله "crelle" به چاپ رسید. این مقاله در رابطه با همگرایی سری تیلور بود.
در تابستان ۱۸۴۶ چبیشف در حال رسیدگی به رساله دکترای خود بود و در همان سال مقاله ای در مجله crelle بر پایه رساله خود منتشر کرد. رساله او در زمینه تئوری احتمال بود و در آن نتایج حاصل از تئوری احتمال را توسعه داد ولی با روشی ابتدایی.ناگفته نماند که رساله چبیشف تا پس از مرگ او به چاپ نرسید ولی او مقاله ای در رابطه با نتایج آن را در سال ۱۸۵۳ به چاپ رساند.
همان طور که قبلآگفته شد چبیشف تئوری احتمال را بیان کرد. در سال ۱۸۶۷ او مقاله ای در رابطه با مقدار میانی را که در آن از نابرابری Bienayme استفاده شده بود چاپ کرد. یکی از نتایج این کار او نابرابری ایست که امروزه به آن نابرابری چبیشف گفته می شود. ۲۰ سال بعد چبیشف دو قضیه در رابطه با اختمال را منتشر کرد٬ یکی اساس بکاربردن تئوری احتمال در داده های آماری و دیگری عمومی کردن قضیه حد مرکزی دوموآور-لاپلاس.

داده

برخی از تعاریف ارائه شده در متون چنین اند

• داده‌عبارتست از نمایش ذخیره شده اشیاء فیزیکی , چیزهای مجرد, بوده‌ها (واقعیات ) ,رویدادها یا موجودیتهای دیگر قابل مشاهده که در تصمیم سازی بکار می‌آید
• داده عبارتست از هر مجموعه‌ای از بوده‌ها
• بوده‌های خام که معنای اندکی دارند مگر اینکه به صورتی منطقی سازماندهی شده باشند
• داده‌ عبارتست از کلمه و / یا عددی که معنای خاصی داشته باشد.
• داده عبارتست از بوده (واقعیت ) یا هست معلوم که می‌توان بوده یا هست دیگری را از استنباط کرد.

واقعیات شناخته شده که می‌تواند ذخیره شود و معنای ضمنی دارد. حال تعریف ANSI را یاد آوری می‌شویم
باری این مفهوم, ANSI در تعریف ارائه کرده است

1. نمایش بوده‌ها و پدیده‌ها و مفاهیم یا شناخته‌ها به طرزی صوری و مناسب برای برقراری ارتباط ,تفسیر یا پردازش توسط انسان یا هر امکان خودکار
2. هر نمایشی اعم از کاراکتری (نویسه‌ای) یا کمیتهای قیاسی که معنایی به آن قابل انتساب باشد (توسط انسان یا یک مکانیسم خودکار).

توجه داشته باشید که انتساب یک معنا به یک نمایش , قبل از هر چیز باید توسط ذهن , هوش یااندیشه انجام شود.

اگر از دیدگاه علم ارتباط شناسی در مفهوم داده اندیشه کنیم تعریف اول ANSI به نظر کاملتر می‌آید.

کلمه data ریشه‌لاتین دارد و در اصل از کلمه‌ای در لاتین به معنای "دادن" مشتق می‌شود و مفرد آن datum است . در متون معمولاً به صورت جمع بکار می‌رود.

---

پیوندهای خارجی

• http://en.wikipedia.org/wiki/Data
• http://en.wikipedia.org/wiki/Information

آنالیز

• تاریخچه
• تقسیم بندی آنالیز
• پیوندهای خارجی

آنالیز شاخه ای از ریاضیات است که با اعداد حقیقی و اعداد مختلط و نیز توابع حقیقی و مختلط سر و کار دارد و به بررسی مفاهیمی از قبیل پیوستگی ،انتگرال گیری و مشق پذیری می پردازد

دنباله ای از توابع پیوسته مانند در فضای R که به صفر همگراست

تاریخچه

از نظر تاریخی آنالیز در قرن هفدهم با ابداع حساب دیفرانسیل و انتگرال توسط نیوتن و لایپ نیتس پایه ریزی شد در قرن هفدهم و هجدهم سر فصل های آنالیزی از قبیل حساب تغییرات،معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی، آنالیز فوریه در زمینه های کاربردی توسعه فراوانی یافتند و از آنها به طور موفقیت آمیز در زمینه های صنعتی استفاده شد. در قرن هجدهم تعریف مفهوم تابع به یک موضوع بحث بر انگیز در ریاضیات تبدیل شد. در قرن نوزدهم کوشی با معرفی مفهوم سری های کوشی اولین کسی بود که حساب دیفرانسیل و انتگرال را بر یک پایه منطقی استوار کرد..
در اواسط قرن نوزدهم ریمان تئوری انتگرال گیری خود را که به انتگرال ریمان معروف است ارائه داد در اواخر قرن نوزدهم وایراشتراس مفهوم حد را معرفی کرد و نتایج کار خود بر روی سریها را نیز ارائه داد در همین دوران ریاضیدانان با تلاش های زیاد توانستند انتگرال ریمان را اصلاح نمایند .
در اوایل قرن بیستم هیلبرت برای حل معادلات انتگرال فضای هیلبرتی را تعریف و معرفی نمود.از آخرین تحولات در زمینه آنالیز می توان به پایه گذاری آنالیز تابعی توسط یک دانشمند لهستانی به نام باناچ نام برد.

تقسیم بندی آنالیز

• آنالیز حقیقی: به مطالعه بر روی حد ها ،مشتقات،انتگرال ها سریهای توانی می پردازد.
• آنالیز تابعی: به معرفی نظریه هایی از قبیل فضاهای باناچ و نیز فضای هیلبرت می پردازد.
• آنالیز هارمونیک: در این شاخه از آنالیز سری های فوریه مورد مطالعه قرار می گیرد.
• انالیز مختلط: به بررسی توابع مختلط و خواص این توابع از قبیل مشتق پذیری و انتگرال گیری می پردازد.

پیوندهای خارجی

WIKIPEDIA:ANALYSIS
http://mathworld.wolfram.com/topics/AnimatedGIFs.html

---

احتمال و ژنتیک

احتمال و آمار و همچنین سایر علوم رسالت دارند تا بتوانند حوادث پیرامون ما را توضیح دهند. دلیل آنها را روشن سازند و رفتار آنها را تعیین کنند. برای تبیین برخی از پدیده ها لازم است مباحث مختلفی از علوم دست به دست یکدیگر بدهند. در ژنتیک با استفاده از مباحث زیست شناسی، احتمال و ریاضیات، پدیده ها را می توان توصیف و پیش بینی های لازم را به عمل آورد.

وراثت و ژنتیک

انسانها دارای صفتهای اکتسابی و ارثی هستند. صفتهای ارثی؛ صفاتی هستند که از آغاز تولد همراه انسان بوده و تا آخر عمر ثابت می مانند. این صفتها از والدین به او می رسند و او نیز آنها را به نسل و حتی نسلهای بعدی انتقال می دهد. این انتقال به وسیله ژنها انجام می پذیرد. برای هر صفتی ژن خاصی وجود دارد که نوزاد از والدین خود به ارث می برد. برای آن که موضوع روشن شود؛ موضوع RH خون را در نظر می گیریم. عامل تعیین کننده RH خون ژنی است که سبب می شود RH خون مثبت و یا منفی شود و هر ژن از دو قسمت تشکیل یافته است که یک قسمت آن از پدر و یک قسمت دیگر آن از مادر به نوزاد می رسد. اکنون اگر این دو بخش، هر دو از نوع RH منفی باشند، گروه خونی نوزاد منفی خواهد بود و در غیر این صورت RH خون نوزاد مثبت خواهد شد. در این گونه موارد، می گویند ژن RH مثبت غالب است (بر ژن RH منفی چیره می شود). معمولاً ژن های را با حروف انگلیسی نشان می دهند. اگر ژنی غالب باشد، آن را حرف بزرگ و اگر مغلوب باشد، با حرف کوچک نشان می دهند. مثلاً اگر ژن تعیین کننده RH خون را با R نشان دهیم، آن گاه: R عامل تعیین کننده RH مثبت و تعیین کننده منفی RH است. پس اگر ژن مربوط به تعیین RH خون فرزندی به یکی از صورتهای Rr، RR و r R باشد، RH خونی او مثبت خواهد شد. فقط در حالت است که RH او منفی می شود. حالت زیر را برای والدین در نظر بگیرید.
الف: مادر به صورت RR و پدر نیز به صورت RR باشند. در این صورت فرزند آنها نیز مسلماً دارای ژن RR خواهد بود و در نتیجه RH او مثبت است.
ب: مادر به صورت rr و پدر نیز به صورت rr باشند. در این صورت فرزند آنها دارای ژن rr است و RH خون او منفی است.
ج: مادر به صورت Rr و پدر به صورت RR باشد، در این صورت فرزند به یکی از دو صورت RR و یا Rr است که در هر حال RH او مثبت است.
د: مادر به صورتRr و پدر به صورت Rr باشد، در این صورت فرزند به صورت RR، یا Rr و یا rr خواهد بود؛ که در حالت اول RH مثبت و فقط در حالت آخر RH منفی است. اکنون احتمال آن که فرزند چنین والدینی دارای مثبت باشد، چه قدر است؟ برای پاسخگویی به این سوال شکل زیر را در نظر می گیریم:

چون هر یک از این ترکیبها به تصادف انجام می شود، احتمال آن که این قبیل پدران و مادران فرزندی با مثبت باشند، برابر و احتمال ان که فرزند منفی باشند است.
هـ: اگر مادر به صورت Rr و پدر به صورت rr باشد، در این صورت شکل زیر را داریم:


در این حالت احتمال آن که فرزندی دارای مثبت باشد، برابر و احتمال آن که دارای منفی باشد نیز برابر است.

به همین ترتیب می توان سایر حالات نیز نمودار نظیر را رسم و احتمالها را حساب کرد.
اگر تنوع صفت بیش از 2 باشد (مثبت و منفی)، انتقال صفات به این سادگی انجام نمی پذیرید و در آن جا باید با مطالعات گسترده درباره غالب و مغلوب بودن ژنها، قانون انتقال را تعیین کرد، مثلاً درباره رنگ چشم این مشکل وجود دارد. ولی در مطالعات نظری گذشته از برخی از حالات، معمولاً رنگ چشم تیره را غالب و رنگ چشن روشن را مغلوب فرض می کنند.
مثال: پدری دارای رنگ چشم و مادر دارای ژن رنگ چشم است

همچنین ببینید:

نظریه احتمال

تعبیر امواج دوبروی با نظریه احتمال

آنچه به اینجا پیوند دارد... نظریه احتمال

علوم طبیعت > فیزیک > فیزیک نوین > مکانیک کوانتومی علوم طبیعت > شیمی > شیمی فیزیک > شیمی کوانتوم

(cached)

---

نگاه ‌اجمالی

بر اساس اصل عدم قطعیت هایزنبرگ در مکانیک کوانتومی نمی‌توان در مورد پدیده‌ها با قطعیت کامل اظهار نظر نمود و لذا نتیجه ‌اندازه گیری‌ها و آزمایش‌های مختلف بوسیله نظریه احتمال تعبیر می‌شود. از جمله مفاهیمی ‌که در تعبیر و توصیف آنها از نظریه ‌احتمال استفاده می‌شود، تعبیر امواج دوبروی می‌باشد. امواجی که به ذرات مادی نسبت داده می‌شود.

تاریخچه

تعبیر طبیعت موجی ذرات مادی برحسب احتمالات ، نخستین بار در سال 1926 توسط ماکس بورن ارائه شد. آن شاخه ‌از فیزیک کوانتومی‌ که مسئله یافتن مقادیر توابع موجی را بررسی می‌کند، مکانیک موجی یا مکانیک کوانتومی ‌نام دارد. مبتکران اصلی مکانیک موجی ذرات اروین شرودینگر و ورنر هایزنبرگ بودند که به‌صورت مستقل مکانیک کوانتومی ‌را با صورتهای ریاضی مختلف ، ولی هم‌ارز ، فرمول‌بندی کردند.

ارتباط مدل موجی و ذره‌ای بوسیله نظریه ‌احتمال

از الکترومغناطیس می‌دانیم که میدان موج وابسته به یک فوتون میدان الکترومغناطیسی است. تابش الکترومغناطیسی در بعضی موارد با استفاده‌ از مدل ذره‌ای و در موارد دیگر به کمک مدل موجی توصیف می‌شود. شدت تابش ، کمیتی است که در هر دو مدل به یک معنی است.با این تفاوت که در مدل ذره‌ای ، شدت تابش با تعداد فوتونها متناسب است، ولی در مدل موجی شدت تابش با مجذور میدان الکتریکی متناسب می‌باشد. از طرف دیگر ، احتمال مشاهده هر فوتون در هر نقطه با تعداد فوتونهایی که به‌ آن نقطه می‌رسند، متناسب است. چون اگر فوتونی در آن نقطه وجود نداشته باشد، در این صورت احتمال وجود فوتون صفر خواهد بود.

بنابراین با استفاده ‌از تعریف ارائه شده برای شدت در هر دو مدل موجی و ذره‌ای ، می‌توان چنین نتیجه گرفت که ‌احتمال مشاهده یک فوتون در هر نقطه ‌از فضا با مجذور شدت میدان الکتریکی در آن نقطه متناسب است. به بیان دیگر ، از دیدگاه نظریه کوانتومی‌ ، میدان الکتریکی نه تنها کمیتی است که نیروی الکتریکی به‌ازای واحد بار را بدست می‌دهد، بلکه کمیت تابعی است که مجذور آن احتمال مشاهده یک فوتون را در هر مکان مفروض بدست می‌دهد. هرچند نظریه ‌الکترومغناطیس کلاسیک قادر به توصیف خصوصیات دقیقا کوانتومی‌ تابش الکترومغناطیسی نیست، ولی قادر است با محاسبه مجذور میدان الکتریکی احتمال مشاهده فوتون‌ها را بدست دهد.

معرفی تابع احتمال

مفهوم طبیعت موجی یک ذره مادی مانند الکترون را می‌توان به ‌این صورت تشریح کرد که رابطه بین احتمال مشاهده یک ذره و مجذور دامنه موج آن دقیقا همان رابطه بین احتمال مشاهده یک فوتون با جرم سکون صفر و مجذور دامنه موج آن (که همان میدان الکتریکی است) می‌باشد. در مکانیک کوانتومی دامنه موج وابسته به یک ذره همان تابع موجی است که بر اساس رابطه دوبروی به یک ذره نسبت داده می‌شود. در مکانیک کوانتومی (یا مدل ذره‌ای) احتمال مشاهده یک ذره مادی به‌صورت مجذور تابع موج تعریف می‌شود.

بنابراین ، اگر تابع موج را با ψ نشان دهیم، در این صورت احتمال اینکه ذره در یک فاصله مفروض بین x و x + dx مشاهده شود، با ψ(x)|^2dx| برابر خواهد بود. از طرف دیگر می‌دانیم که میدان الکتریکی ، در حالت کلی تابعی از مکان و زمان می‌باشد. بنابراین باید تابع موج و به تبع آن تابع احتمال نیز تابعی از مکان و زمان باشند. تعیین مکان مخصوص یک فوتون در یک زمان خاص با قطعیت کامل ، غیر ممکن است، اما تعیین احتمال مشاهده آن به کمک مجذور میدان الکتریکی امکان‌پذیر است. بطور مشابه ، تعیین مکان مخصوص یک ذره در یک زمان ویژه با قطعیت کامل غیرممکن بوده ولی تعیین احتمال مشاهده آن به کمک مجذور تابع موج ممکن است.

خصوصیات تابع احتمال

• تابع احتمال یک کمیت حقیقی است، چون به صورت مجذور تابع موج تعریف می‌شود و مجذور یک کمیت باید حقیقی باشد، هرچند خود آن کمیت مختلط باشد.
  
  
• تابع احتمال همواره مقداری بین صفر و یک دارد که یک ، بیشینه مقدار آن و صفر ، کمترین مقدار تابع احتمال است.

مباحث مرتبط با عنوان

• اصل عدم قطعیت هایزنبرگ
• اصل مکملی
• الکترومغناطیس
• بسته موج
• تابع احتمال
• تابع موج
• مکانیک کوانتومی
• معادله شرودینگر
• موج دوبروی

توزیع نرمال

• توزیع نرمال

  منحنی توزیع
• تابع چگالی احتمال
• کاربردها
• همچنین ببینید:
• پیوند خارجی

توزیع فراوانی توزیع نرمال به ازای واریانس های مختلف

توزیع نرمال ، یکی از مهمترین توزیع ها در نظریه احتمال است. و کاربردهای بسیاری در علم فیزیک و مهندسی دارد.این توزیع توسط کارل فریدریش گاوس در رابطه با کاربرد روش کمترین مربعات در آمارگیری کشف شد.فرمول آن بر حسب ،دو پارامتر امید ریاضی و واریانس بیان میشود. همچنین تابع توزیع نرمال یا گاوس از مهمترین توابعی است که در مباحث آمار و احتمالات مورد بررسی قرار می گیرد چرا که به تجربه ثابت شده است که در دنیای اطراف ما توزیع بسیاری از متغیرهای طبیعی از همین تابع پیروی می کنند.

منحنی توزیع

منحنی رفتار این تابع تا حد زیادی شبیه به زنگ های کلیسا می باشد و به همین دلیل به آن Bell Shaped هم گفته میشود. با وجود اینکه ممکن است ارتفاع و نحوه انحنای انواع مختلف این منحنی یکسان نباشد اما همه آنها یک ویژگی یکسان دارند و آن مساحت واحد می باشد.
ارتفاع این منحنی با مقادیر میانگین () و انحراف معیار() ارتباط دارد. با وجود فرمول نسبتا" پیچیده و دخیل بودن پارامترهای ثابتی چون عدد (p) یا عدد (e) در این فرمول، می توان از آن برای مدل کردن رفتار میزان IQ، قد یا وزن انسان، پراکندگی ستارگان در فضا و ... استفاده کرد.

سطح زیر منحنی نرمال برای مقادیر متفاوت
مقدار میانگین و واریانس

این منحنی دارای خواص بسیار جالبی است از آن جمله که نسبت به محور عمودی متقارن می باشد، نیمی از مساحت زیر منحنی بالای مقدار متوسط و نیمه دیگر در پایین مقدار متوسط قرار دارد و اینکه هرچه از طرفین به مرکز مختصات نزدیک می شویم احتمال وقوع بیشتر می شود.

سطح زیر منحنی نرمال برای مقادیر متفاوت مقدار میانگین و واریانس فراگیری این رفتار آنقدر زیاد است که دانشمندان اغلب برای مدل کردن متغیرهای تصادفی که با رفتار آنها آشنایی ندارند، از این تابع استفاده می کنند. بعنوان یک مثال در یک امتحان درسی نمرات دانش آموزان اغلب اطراف میانگین بیشتر می باشد و هر چه به سمت نمرات بالا یا پایین پیش برویم تعداد افرادی که این نمرات را گرفته اند کمتر می شود. این رفتار را بسهولت می توان با یک توزیع نرمال مدل کرد.

تابع چگالی احتمال

تابع چگالی احتمال برای توزیع نرمال بر حسب امید ریاضی و واریانس تعریف میشود.و تابع آن به صورت زیر است:

اگر در این فرمول باشد در این صورت به آن تابع توزیع نرمال استاندارد گویند. در این حالت تابع توزیع به صورت زیر خواهد بود:

کاربردها

از مهمترین کاربردهای این تابع توزیع در دانش اقتصاد و مدیریت امروز می توان به مدل کردن پورتفولیوها (Portfolios) در سرمایه گذاری و مدیریت منابع نام برد. هنگامی که مقدار منفی برای متغییر معنی نداشته باشد معمولا" در محور x منحنی را منقل می کنند و مقدار میانگین - که دارای بیشترین احتمال وقوع هست - را به سمت مقادیر بزگتر شیفت میدهند.

همچنین ببینید:

نظریه احتمال

پیوند خارجی

http://www.senmerv.com/archives/000074.php

نظریه احتمال

• ملاحظات تاریخی
• پیشامد
• تعریف کلاسیک احتمال
• همچنین ببینید:

احتمال یکی از چندین کلمه ای است که برای بیان اتفاقات یا معلومات مشکوک به کار می رود. البته شانس، شرط بندی دیگر کلمات شبیه این، مفاهیمی مشابه احتمال را در ذهن ایجاد می کنند. در نظریه احتمال سعی بر ارائه مفهوم احتمال است.امروزه نظریه احتمال با بسیاری از شاخه های دیگر ریاضیات و بسیاری از حوزه های علوم طبیعی، تکنولوژی، و اقتصاد مرتبط است.

ملاحظات تاریخی

آغاز نظریه احتمال به اواسط قرن هفدهم باز می گردد. شرط بند با حرارتی با نام شوالیه دومره (de mere) حل مسئله ای را، که برایش مهم بود، از بلز پاسکال درخواست کرد.

شرط بند با معلوم بودن این مطلب که در یکی از مراحل میانی بازی، یکی از آنها دور و دیگری دور راه برده باشد، و ، طبق قرار قبلی، اولین کسی که دور را ببرد برنده کل بازی باشد. پاسکال راه حل خود را با پی یردو فرما که او نیز راه حلی برای این مسئله به دست آورد. درمیان گذاشت و راه حل سوم از کریستین هویگنس (1629ـ 1695) به دست آمد. مردان فرهیخته مزبور، اهمیت مسنله مزبور را در بررسی قوانین حاکم بر پیشامدهای تصادفی دریافتند. به این ترتیب، مفاهیم و روش های اولیه علمی جدید، از مساله های مربوط به بازی های شانسی گسترش یافت.
خیلی بعد، در قرن نوزدهم، توجه به سرعت افزاینده در علوم طبیعی، گسترش نظریه احتمال را به مواردی غیر از چهارچوب بازی های شانسی ضروری ساخت. گسترش مزبور رابطه ای تنگاتنگ با نام های ژاکوب برنولی (1654ـ1705)، آبراهام دوموآور (1667ـ1754)، پیرسیمون دولاپلاس (1749ـ 1827)، کارل فردریش گاوس (1777ـ 1855)، سیمون دنیس پواسون (1781ـ 1840)ف پافنونی لووبچ چبیشف (1821ـ1894)، آندری آندری ویچ مارکوف (1856ـ1922)، و در همین اواخر با اسامی الکساندر یاکوف لویچ خین چاین (1894ـ 1959) و اندری نیکولائویچ کولموگوروف (متولد 1903) داشته است.
تحقیق در پیشامدهای انبوه با بررسی قوانین حاکن بر پیشامدهای تصادفی مرتبط است. به عنوان مثال، تولید کالایی که موارد کاربرد روزانه دارد پیشامد انبوه و ظهور کالایی معیوب در میان آنها پیشامدی تصادفی است.

پیشامد

پیشامد E ، به مفهوم پیشامد تصادفی ، نتیجه آزمونی است که گرچه میتواند رخ دهد ولی این رخ داد ضروری نیست . یک آزمون می تواند مشاهده یا آزمایش باشد و با مجموعه ای از شرایطی که باید برقرار شوند و با استفاده از تکرارپذیری مشخص می شود . حالت های حدی نیز به عنوان پیشامد در نظر گرفته می شوند : پیشامدحتمی ، پیشامدی است که به طور قطع رخ می دهد و پیشامد ناممکن، که هیچ گاه رخ نمی دهد از این قبیل اند. به عنوان مثال در انداختن یک تاس پیشامد آمدن عدد 7 یک پیشامد ناممکن پیشامد آمدن عدد 1 تا6 یک پیشامدحتمی است.
پیشامدها را دو به هر ناسازگار می گوئیم اگر تنها یکی از آنها به عنوان نتیجه آزمون بتواند رخ دهد . به عنوان مثال در بیرون آوردن یک مهره از ظرفی که محتوی مهره های قرمز و سیاه است ، بیرون آوردن مهره قرمز و سیاه است ، بیرون آوردن مهره قرمز و بیرون آوردن مهره سیاه ، ناسازگارند زیرا آن به طور همزمان نمی توانند رخ دهند.
هر گاه دو پیشامد مانند E1 و E2، دستگاه کامل پیشامد ها را تشکیل دهند هر یک از آنها متمم دیگری است به عنوان مثال در انداختن یک سکه ،"شیر" و "خط" متمم اند.

تعریف کلاسیک احتمال

اگر چه نظریه اصل موضوعی احتمال موجود است ، قوانین مهم احتمال را می توان از تعریف کلاسیک آن بدست آورد.

تعریف کلاسیک احتمال : اگر آزمونی بتواند در n پیشامد برابر – محتمل نتیجه شود و اگر m مورد از این پیشامدها برای پیشامد E مطلوب باشند احتمال ظهور پیشامد E عبارت است از:

همواره دو اصل زیر برای احتمال پیشامدهای مختلف برقرار است.

1) همواره عددی بین 0 و1 ست
2) احتمال پیشامد قطعی برابر 1 و احتمال پیشامد نا ممکن برابر صفر است.

همچنین ببینید:

احتمال شرطی
اصل موضوعی احتمال
متغیر تصادفی
تابع احتمال
توزیع برنولی
توزیع پواسون
توزیع دوجمله‌ای
فرایند تصادفی
فرایند مارکوف
توزیع نرمال
توزیع F
توریع t
تعبیر امواج دوبروی با نظریه احتمال
احتمال و ژنتیک
چبیشف و بیان تئوری احتمال


ادامه مطلب

• پیوستگی
  • توابع پیوسته
  • پیوستگی در یک نقطه داخلی
  • پیوستگی در یک نقطه انتهایی
  • تابع پیوسته به بیان دیگر
  • ناپیوستگی در یک نقطه
  • آزمون پیوستگی
  • قضیه ترکیب حدها برای توابع پیوسته
  • قضیه
  • قضیه
  • قضیه ماکسیمم- مینیمم برای توابع پیوسته
  • قضیه مقدار میانی
• همچنین ببینید

پیوستگی

توابع پیوسته

تابعی مانند که بتوان نمودار آن را در هر بازه ای از دامنه اش با حرکت پیوسته نوک قلم رسم کرد مثالی از یک تابع پیوسته است. نمودار این تابع در طول بازه به طور پیوسته با تغییر می کند. در هر نقطه داخلی دامنه تابع مانند نقطه در شکل (1) مقدار تابع حد مقادیر تابع در هر یک از دو طرف است.یعنی :

مقدار تابع در هر یک نقطه انتهایی نیز حد مقادیر تابع در نزدیکی آن است.در نقطه انتهایی چپ :

و در نقطه انتهایی راست :

---

پیوستگی در یک نقطه داخلی

تابعی چون در یک نقطه داخلی از دامنه اش مانند پیوسته است اگر و فقط اگر :

---

پیوستگی در یک نقطه انتهایی

تابعی چون در یک نقطه انتهایی چپ از دامنه اش مانند پیوسته است اگر و تنها اگر :

تابعی چون در یک نقطه انتهایی راست از دامنه اش مانند پیوسته است اگر و تنها اگر :

---

تابع پیوسته به بیان دیگر

یک تابع پیوسته است اگر در هر نقطه از دامنه اش پیوسته باشد.

---

ناپیوستگی در یک نقطه

اگر تابعی چون در نقطه ای مانند پیوسته نباشد گوییم در ناپیوسته است و را یک نقطه ناپیوستگی می خوانیم.

---

آزمون پیوستگی

تابع در پیوسته است اگر و تنها اگر هر سه گزاره زیر درست باشد :
الف. وجود دارد. ( در دامنه است.)
ب. وجود دارد. ( وقتی دارای حد است.)
ج. (این حد برابر با مقدار تابع است.)
در آزمون فوق اگر یک نقطه داخلی دامنه باشد حد مورد نظر دوطرفه است و اگر یک نقطه انتهایی دامنه باشد حد مزبور یک حد یک طرفه مناسب (چپ یا راست) است.

---

قضیه ترکیب حدها برای توابع پیوسته

اگر توابع در پیوسته باشند آنگاه همه ترکیبات زیر در پیوسته اند :
1.

2.

3.

4.

---

قضیه

هر تابع در هر نقطه ای که مشتق داشته باشد در آن نقطه پیوسته است. یعنی اگر در دارای مشتق باشد آنگاه در پیوسته است.

---

قضیه

اگر در و در پیوسته باشند آنگاه تابع مرکب در پیوسته است.

---

قضیه ماکسیمم-مینیمم برای توابع پیوسته

اگر در هر نقطه از بازه بسته پیوسته باشد آنگاه یک مقدار می نیمم و یک مقدار ماکزیمم بر اختیار می کند. یعنی اعدادی چون در وجود دارند به طوری که و و برای هر نقطه مانند در داریم :

---

قضیه مقدار میانی

اگر در هر نقطه از بازه بسته پیوسته باشد و عددی بین و باشد آنگاه دست کم یک نقطه بین وجود دارد که در آن نقطه مقدار را اختیار می کند. به شکل (2) توجه کنید.

حد

• حد تابع در یک نقطه
• تعریف مجرد حد:
• حد توابع در بی نهایت
• حد یک دنباله
• پیوند خارجی

در ریاضیات، مفهوم حد، برای بیان رفتار یک تابع مورد استفاده قرار می گیرد و به بررسی این رفتار در نقاط روی صفحه و یا در بی نهایت می پردازد. حد در حساب دیفرانسیل و انتگرال و نیز در آنالیز ریاضی برای تعریف مشتق و نیز مفهوم پیوستگی مورد استفاده قرار می گیرد.
ریاضیدانها حتی قبل از اینکه بتوانند مفهوم دقیق حد را بیان کنند، در مورد آن بحث می کرده اند. یونانیان باستان درکی از مفهوم حد داشته اند. مثلاً ارشمیدس مقدار تقریبی را با استفاده از محیط چند ضلعیهای منتظم محاط در دایره به شعاع واحد، وقتی که تعداد اضلاع بدون کران افزایش می یابد به دست می آورد. در قرون وسطی نیز تا زمان رنسانس انواع مفاهیم حد برای بدست آوردن مساحت شکلهای مختلف به کار رفته است.

نیوتن و لایب نیتسدر قرن هفدهم، درک شهودی خوبی از حد داشته و حتی حدهای پیچیده ای را نیز محاسبه کرده اند. اما نه آنها و نه در آن قرن، دانشمندان دیگر تعریف دقیقی از حد را ارائه نکرده اند.

یک قرن پس از پیشرفت حساب دیفرانسیل و انتگرال، آلمبرت در سال 1754 عنوان کرد که پایه منطقی مباحث این رشته از دانش بشری مفهوم حداست. کوشی در اوایل قرن نوزدهم حساب دیفرانسیل و انتگرال را به شکلی شبیه آنچه در حال حاضر می خوانیم ارائه داد:

"وقتی که مقادیر متوالی به یک متغیر نسبت داده می شود، بی نهایت به عدد ثابتی نزدیک شوند، به طوری که اختلاف آنها از مقدار ثابت به هر اندازه کوچک قابل انتخاب باشد، این مقدار ثابت را حد همه مقادیر متغیر می گویند."

اگر چه تعریف او از حد باز هم دقیق نبود ولی او قدم بزرگی برای رسیدن به تعریف دقیق فعلی برداشت. تا اینکه سرانجام ویراشتراس در قرن نوزدهم تعریف دققی حد را مطرح کرد که همواره مورد استفاده ریاضیدانان است و در این کتاب نیز آورده شده است.

حد تابع در یک نقطه

اگر یک تابع و یک عدد حقیقی باشد و داشته باشیم: آن گاه این فرمول را چنین میخوانیم << حد تابع f وقتی که x به سمت می رود برابر L است>> توجه کنید که این عبارت حتی اگر
باشد نیز می تواند درست باشد. در عوض تابع در نقطه c تعریف نشده است.حالی مثالی را ذکر می کنیم:تابع زیر را در نظر میگیریم




حال متغیر x را به عدد2 نزدیک می کنیم و خواهیم دید که مقدار تابع به 0.4 نزدیک می شود. در این مورد مشاهده می شود که در این صورت گزینه تابع در نقطه X=C دارای
پیوستگی است. اما همیشه این مورد برقرار نیست.

منحنی زرد رنگ در همه جا پیوسته بوده و دارای حد است ولی سه شکل دیگر نمایانگر انواع ناپیوستگی یک نمودار در یک نقطه است

تعریف مجرد حد:

فرض کنید f تابعی باشد روی یک بازه باز که شامل نقطه C است و فرض کنید L یک عدد حقیقی باشد در این صورت را به صورت زیر تعریف میکنیم:
به ازای هروجود دارد یک که برای هر x دلخواه اگر آنگاه نتیجه بگیریم:

حد توابع در بی نهایت

حد یک تابع فقط در نزدیکی اعداد متناهی تعریف نمی شود بلکه ممکن است متغیر توابع وقتی که بی نهایت نزدیک می شود دارای حد باشند.
به عنوان مثال در تابع خواهیم داشت:

• f(100) = 1.9802
• f(1000) = 1.9980
• f(10000) = 1.9998

مشاهده میشود که هر چه قدر x بزرگتر میشود ،مقدار تابع به عدد 2 نزدیکتر میشود .در واقع داریم:

حد یک دنباله

حد یک دنباله مانند 1.79, 1.799, 1.7999,... را در نظر بگیرید. مشاهده می کنیم که این دنباله به عدد 1.8 نزدیک می شود.
به طور کلی فرض می کنیم یک دنباله از اعداد حقیقی باشد. می گوییم حد این دنباله برابر L است و می نویسیم: اگر و تنها اگر برای هر یک عدد طبیعی مانند m باشد که برای هر n>m داشته باشیم
باید توجه کرد که ما می توانیم مقدار . را به عنوان فاصله بین و L در نظر بگیریم به چنین دنباله هایی که حد آنها به یک عدد متناهی میل می کند همگرا گویند و گرنه به آن واگرا گویند.

پیوند خارجی

www.wikipedia.com